ΑΣΚΗΣΗ 9

 

TAXYTHTA TOY ΦΩΤΟΣ

 

ΣΚΟΠΟΣ : Να μετρηθεί η ταχύτητα του φωτός στον αέρα και στο νερό. Θα προσδιορισθεί ακόμα ο δείκτης διάθλασης του νερού.

 

ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΣΚΕΥΕΣ

  1. Δίοδος που εκπέμπει κόκκινο φως λ=660nm, Light Emitted Diode (LED) με ενσωματωμένο φακό εστίασης.
  2. Τροφοδοτικό διόδου LED με έξοδο εναλλασσόμενου σήματος συχνότητας 60 ΜΗz και ενσωματωμένο ανιχνευτή ακτινοβολίας, φωτοδίοδος πυριτίου (c-Si).
  3. Παλμογράφος 2 καναλιών.
  4. 1 καλώδιo BNC (6 m), 2 καλώδια BNC (1.5 m).
  5. 2 συγκλίνοντες φακοί.
  6. Σωλήνας ενός μέτρου με απoσταγμένο νερό.

 

ΘΕΩΡΙΑ

Μετρώντας μια δεδομένη απόσταση ΔΧ που διανύει το φως δια του χρόνου Δt που χρειάζεται να διανύσει αυτή την απόσταση υπολογίζουμε τη ταχύτητα του φωτός c στον αέρα δηλ. c=ΔX/Δt.

Στην άσκηση αυτή χρησιμοποιείται η φωτεινή ακτινοβολία που εκπέμπεται από μία δίοδο (LED) με μήκος κύματος λ=660 nm. H ένταση Ι της ακτινοβολίας

 

Σχήμα 1


 

μεταβάλλεται ημιτονοειδώς με το χρόνο (t) δηλ. I=Acos(2πf1t) με συχνότητα διαμόρφωσης f1=60 ΜHz. Η τάση που τροφοδοτείται η δίοδος προβάλλεται στην οθόνη του παλμογράφου σα συνάρτηση του χρόνου (κόκκινη γραμμή στο Σχήμα 2) το οποίο αποτελεί και το σήμα αναφοράς Ι0. Ανιχνευτής σε απόσταση Χ από τη δίοδο λαμβάνει την ακτινοβολία από τη δίοδο και τη μετατρέπει σε διαφορά δυναμικού ΔV της οποίας το μέτρο είναι ανάλογο της έντασης (Ι=κΔV όπου κ είναι μια σταθερά). H ΔV προβάλλεται στην οθόνη του παλμογράφου σαν συνάρτηση του χρόνου t και έχει την ημιτονοειδή μορφή του σχήματος 2 (μπλέ γραμμή).

 

Στο πείραμα η δίοδος τοποθετείται αρχικά στη μικρότερη απόσταση από τον ανιχνευτή. Κατόπιν τα δυο σήματα του παλμογράφου ρυθμίζονται ώστε να έχουν διαφορά φάσης 0. Καθώς αυξάνεται η απόστασης της διόδου από τον ανιχνευτή κατά κάποιο δάστημα έστω ΔΧ αυτό έχει σαν αποτέλεσμα το φως να χρειάζεται επί πλέον χρόνο Δt για να διανύσει την απόσταση ΔΧ=1.0m. Η κυματομορφή (Ι) του σήματος από τον ανιχνευτή (κόκκινη γραμμή στο Σχήμα 2) τώρα εμφανίζει καθυστέρηση χρόνου Δt=3.3ns (1ns=10-9s). Έτσι το σήμα του ανιχνευτεί μετατοπίζεται καθυστερεί σε σχέση με το σήμα αναφοράς κατά το χρόνο Δt εμφανίζοντας μια διαφορά φάσης ΔΦ=2πf1Δt από το σήμα αναφοράς. Η ταχύτητα του φωτός c υπολογίζεται από το πηλίκο c=ΔX/Δt.

 

Σχήμα 2

 

Βλέπω όμως πως η μετατόπιση στη κλίμακα του χρόνου που περιμένω στο παλμογράφο είναι της τάξεως των ns. Ο χρόνος αυτός όμως δεν μπορεί να μετρηθεί χρησιμοποιώντας κάποιο απλό εργαστηριακό παλμογράφο.

Για την μέτρηση της καθυστέρησης χρόνου Δt χρησιμοποιείται ένα τέχνασμα. Το σήμα αναφοράς και το καθυστερημένο σήμα από τον ανιχνευτή συχνότητας f1=60 ΜΗz αναμιγνύονται (πολλαπλασιάζονται) με ένα άλλο σήμα λίγο μικρότερης συχνότητας f2=59.9 ΜΗz. Έτσι προκύπτουν 2 συνθετικά σήματα διαφορετικής συχνότητας στο σήμα αναφοράς (Ι0).

Αcos(2πf1t) cos(2πf2t)=Αcos[2π(f1+f2)t]+ Αcos[2π(f1-f2)t]

και 2 συνθετικά σήματα διαφορετικής συχνότητας στο σήμα του ανιχνευτή (Ι)

Βcos(2πf1t-ΔΦ) cos(2πf2t)= Βcos[2π(f1+f2)t-ΔΦ]+ Βcos[2π(f1-f2)t-ΔΦ]

Παρατηρούμε όμως πως η διαφορά φάσης ΔΦ παραμένει η ίδια κα στα δυο σήματα. Χρησιμοποιώντας κατάλληλο φίλτρο απομακρύνεται ηλεκτρονικά το σήμα υψηλής συχνότητας (f1+f2)=119.9 ΜΗz και παραμένει μόνο το σήμα μικρότερης συχνότητας (f1-f2)=100 ΚΗz. Σε αυτό το σήμα η διαφορά φάσης ΔΦ=2πf1Δt τώρα αντιστοιχεί τώρα χρόνος καθυστέρησης Δt΄ δηλ. ΔΦ=2π(f1-f2)Δt΄ αυξημένος κατά ένα παράγοντα f1/(f1-f2)=600 από τον αρχικό χρόνο Δt δηλ. Δt΄=[f1/(f1-f2)]Δt ο οποίος μπορεί να μετρηθεί εύκολα τώρα από ένα απλό παλμογράφο.

 

H τιμή της ταχύτητας του φωτός είναι μέγιστη για το κενό και αέρα. Σε άλλα μέσα π.χ. νερό, γυαλί, η ταχύτητα του φωτός είναι μικρότερη. Το πόσο μικρότερη είναι η ταχύτητα c΄ σε κάποιο μέσο από τη ταχύτητα c στο κενό εκφράζεται με το δείκτη διάθλασης η που ορίζεται ως το πηλίκο η=c/c΄.

Στο δεύτερο πείραμα προσδιορίζουμε τη ταχύτητα του φωτός στο νερό. Για το σκοπό αυτό ανάμεσα στο φακό και στη δίοδο LED παρεμβάλουμε ένα σωλήνα μήκους d=1m με αποσταγμένο νερό. Μετρούμε το χρόνο καθυστέρησης Δt που υφίσταται η διάδοση του φωτός μέσα στο σωλήνα. Αυτή ισούται με

Δt=d/c-d/c΄=(d/c)(c/c΄-1)=(d/c)(η-1) από όπου προκύπτει η=1+(c/d)Δt.

 

 

ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ

  1. Σημειώστε στο πρόχειρο του τετραδίου τον τίτλο της άσκησης, ημερομηνία, ονόματα συνεργατών και αντιγράψτε όλους τους πίνακες μετρήσεων.

 

  1. Συνδέστε με το μακρύτερο BNC καλώδιο την έξοδο Ε του τροφοδοτικού με την είσοδο Α της διόδου και ανοίξτε το διακόπτη Δ του τροφοδοτικού.

 

  1. Με τα μικρότερα BNC καλώδια συνδέστε τις εξόδους Κ (σήμα αναφοράς) και Ο (σήμα ανιχνευτή) με τις εισόδους των καναλιών Ch1 και Ch2 του παλμογράφου. Ρυθμίστε το διακόπτη Τ της βάσης χρόνου του παλμογράφου στα β=1μs/div.

 

  1. Τοποθετήστε τη δίοδο LED στην μικρότερη απόσταση από τον ανιχνευτή ακριβώς εμπρός από το φακό.

 

  1. Πατήστε τους διακόπτες GD των δύο καναλιών του παλμογράφου ώστε οι κυματομορφές να γίνουν ευθείες και ρυθμίστε με τους διακόπτες G1 και G2 ώστε τα 2 σήματα να έλθουν στο μέσο της οθόνης (μεσαία οριζόντια γραμμή). Πατήστε και πάλι τους διακόπτες GD των δύο καναλιών (οι κυματομορφές επανέρχονται). Ρυθμίστε το διακόπτη E1 της ευαισθησίας του καναλιού Ch1 ώστε να φαίνονται καθαρά οι 2 κορυφές του σήματος αναφοράς.

 

  1. Ρυθμίστε το διακόπτη E2 της ευαισθησίας του καναλιού Ch2 ώστε να φαίνονται οι 2 κορυφές του σήματος του ανιχνευτή. Ρυθμίστε τους διακόπτες 1, 2, 3 στο πίσω μέρος της βάσης της διόδου ώστε να πάρετε το μέγιστο σήμα από την έξοδο του ανιχνευτή.

 

  1. Μετρήστε την περίοδο Τ των σημάτων καταγράφοντας την απόσταση μιας περιόδου d στην οθόνη του παλμογράφου. Θα πρέπει Τ = d β = 100ΚΗz.

 

  1. Ρυθμίστε το διακόπτη της διαφοράς φάσης ΔΦ του τροφοδοτικού της διόδου ώστε οι κορυφές του σήματος αναφοράς να συμπίπτουν με αυτές του σήματος του ανιχνευτή (ΔΦ=0).

 

  1. Αυξήστε τις ευαισθησίες Ε1 και Ε2 κατά δύο περίπου θέσεις (mV/div) ώστε οι κορυφές των σημάτων να εξαφανιστούν από την οθόνη του παλμογράφου και τα 2 σήματα να φαίνονται σχεδόν κατακόρυφα στη οθόνη. Επίσης μειώστε τη βάση χρόνου β στο β=0.1μs. Έτσι πετυχαίνεται η μέγιστη ευαισθησία στη μέτρηση της χρονικής μετατόπισης του σήματος.

 

  1. Απομακρύνετε τη δίοδο έτσι ώστε στην οθόνη του παλμογράφου το σήμα να απομακρύνεται προς τα δεξιά από το σήμα αναφοράς κατά Δt=0.1μs. Εμφανίζει δηλαδή διαφορά φάσης με το σήμα αναφοράς ΔΦ=2π(f1-f2)Δt, εξηγήστε το φαινόμενο αυτό. Μετρήστε τη απόσταση Χ που μετατοπίσατε τη δίοδο. Καταγράψτε όλες τις τιμές Δt, Χ, ΔΦ στον πίνακα Ι.

 

  1. Απομακρύνετε τη δίοδο έτσι ώστε στην οθόνη του παλμογράφου το σήμα να απομακρύνεται προς τα δεξιά από το σήμα αναφοράς κάθε φορά κατά 0.1μs (μια υποδιαίρεση στον άξονα του t) και καταγράφετε την μετατόπιση ΔΧ από την αρχική θέση της διόδου και επαναλάβατε το προηγούμενο βήμα 10 μέχρι η μέγιστη μετατόπιση ΔΧ που θα μετρήσετε να είναι περίπου ΔΧ=0.8m.

 

 

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ

 

  1. Η τεχνική της μίξης δύο σημάτων χρησιμοποιήθηκε για να μετρήσουμε την ταχύτητα του φωτός μετατρέποντάς τα σε σήματα μικρής συχνότητας. Η περίοδος του σήματος εξόδου του ανιχνευτή και του σήματος αναφοράς που μετρήθηκε στο βήμα 7 πρέπει να είναι Τ=100 ΚΗz. Η διαφορά φάσης ΔΦ των 2 σημάτων σε rad έμεινε η ίδια αλλά η χρονική καθυστέρηση που μετρήθηκε τώρα στο παλμογράφο αυξήθηκε κατά τον παράγοντα [f1/(f1-f2)]=600. Να υπολογισθεί η πραγματική χρονική καθυστέρηση Δtr=Δt/600 για τις χρονικές καθυστερήσεις Δt που καταχωρήθηκαν στον Πίνακα Ι.

 

  1. Kάνετε τη γραφική παράσταση της απόστασης ΔΧ έναντι της χρονικής μετατόπισης Δtr. Η εξάρτηση της ΔX(Δtr) αναμένεται να είναι γραμμική.

 

  1. Από το παραπάνω διάγραμμα προκύπτει τέτοια γραμμικότητα; Αν ναι τότε η κλίση της ευθείας κ=ΔΧ/Δtr=c με τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων αναμένεται να μας δώσει τη γνωστή τιμή της ταχύτητα c του φωτός στον αέρα (c=3.0 x 108m/s).

 

  1. Η απόκλιση της τιμής που μετρήσατε από τη γνωστή τιμή μας δίνει το μέγεθος του σφάλματος Δc. Το σφάλμα μας προσδιορίζει με πόσα σημαντικά ψηφία κρατούμε για τιμή της c. Γράψτε το αποτέλεσμα στη μορφή c±Δc.

 

 

ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ - ΛΕΞΕΙΣ ΚΛΕΙΔΙΑ

Ταχύτητα του φωτός στο κενό στον αέρα και σε διάφορα μέσα, δείκτης διάθλασης του φωτός, εξισώσεις του Maxwell.

 

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ

Serway Physics for Scientists & Engineers τόμος ΙΙ,

Πανεπιστημιακή Φυσική Υoung τόμος Β,

Φυσική Ohanian τόμος Β.